Bonjour
Il existe un autre moyen très simple de calculer la température, ou plutôt l’écart de température (DeltaT), c'est d’utiliser la résistance thermique.
En électricité la tension s’écrit U=RI en fait pour être rigoureux il faudrait parler de chute de tension et écrire Ua (tension au point A) – Ub (tension au point B) = RI ou plus simplement Delta U = R . I.
En thermique on écrit DeltaT = Rth . Flux th. (Rth : Résistance thermique. Flux th.: Flux thermique, dans notre cas le Flux thermique c'est la Puissance thermique dissipé dans le conducteur)
Pour calculer la température c'est donc très simple on écrit : DeltaT = Rth . Flux th ou DeltaT = Rth . P th, MAIS il faut connaître Rth...
Dans le conducteur en cuivre la conduction de la chaleur (conductivité thermique) est très importante ce qui signifie que l'écart de température entre le centre et le bord est pratiquement nul. Il est facile de trouver Rth avec la formule du transfert de puissance P = h.S.deltaT. Si on l'écrit sous la forme DeltaT = P / hS le terme 1 / hS n'est autre que Rth, la résistance thermique.
Mais dans l'isolant la conductivité thermique est plus faible, il y a un écart de température entre le coté cuivre et le coté air ambiant. La formule utilisé pour le cuivre n'est pas facilement applicable, il est plus facile d' utiliser la notion de résistance thermique.
MAIS il faut la calculer et, il faut passer par le ''calcul intégral'' un outil mathématique qui consiste à écrire l'équation dans une zone quelconque du matériaux, puis écrire l'évolution dans une très très petite zone très (infiniment) proche, puis refaire cela de proche en proche dans toute l'épaisseur et enfin additionner tout ces petits bouts (en math on dit ''intégrer'' ).
On calcule pour un petit tube d'isolant plus fin qu'un papier de cigarette, pour garder l'image de la cigarette, le calcul est fait pour une cigarette sans filtre dont on a enlevé le tabac il reste un tube de longueur L, de rayon r et d'épaisseur ''dr'' (une coquetterie de matheux).
Le Flux de chaleur qui traverse cette surface dépend :
* de la différence de température entre l'intérieur et l'extérieure du tube, si DeltaT augmente le Flux augmente, l'écart de Température étant très petit on l’écrit avec un d minuscule ''dT''
* de la conductivité thermique du matériau, si Lambda (c'est son nom) augmente le Flux augmente (le matériau conduit mieux la chaleur)
* de la surface du tube, si S = 2.Pi.r.L augmente le Flux augmente (un grand radiateur peux plus chauffer)
* et de l'épaisseur du tube si ''dr'' augmente le Flux diminue (si l'épaisseur de l'isolant augmente ça chauffe moins).
Comme la chaleur s'échappe du tube par convention on met le signe moins
Flux = -lambda.2.Pi.r.L.dT/dr on cherche à calculer dT = (Flux / lambda.2.Pi.L) . (dr/r)
et voili voilà c'est fait.
Les valeur
Flux, lambda, 2, Pi, L sont fixes elles ne varient pas en fonction du rayon seule l'expression dr/r dépends du rayon (c'était le but n'est ce pas !) il faut donc ''intégrer'' la formule depuis r1 (diamètre intérieur) jusqu'à r2 (diamètre extérieur de l'isolant).
dT = - (Flux / lambda.2.Pi.L) . [exposant]r1->r2[/exposant][dr/r] en faisant la somme des petits dr depuis r1 jusqu’à r2 on obtient :
DeltaT = Flux . (Ln (r2/r1)) / ( lambda.2.Pi.r1.L) qui est de la même forme que :
DeltaT = Rth . Flux th.
Et ''tadam...'' la résistance thermique de l'isolant est : Rthi = (Ln (r2/r1)) / ( lambda.2.Pi.r1.L)
Nota : le signe Ln (ou ln) est le logarithme Néperien. Napeir les a inventés pour les calculs complexe de l'astronomie.
Pour faire simple c'est un outil mathématique qui transforme une multiplication en addition, une division en soustraction, une élévation à la puissance (carré, cube,...) en une simple multiplication par 2, 3,...
Au final il n'y a que 2 résistances en série entre le flux thermique crée par le conducteur et l'air ambiant, celle du cuivre et celle de l'isolant.
Isolant => Rthi = (Ln (r2/r1)) / ( lambda.2.Pi.r1L)
Cuivre => Rthcu = 1 / hS = 1 / h.2.Pi.r1.L
La différence de température entre le cuivre isolé et l'air ambiant s'écrit donc :
DeltaTcui = Flux . (Rthi + Rthcu) très simple NON ! (cui cui
)
Et maintenant le tour de passe passe
Dans l'épisode précédant il est déjà écrit que la différence de température entre le cuivre nu et l'air ambiant est
DeltaTcunu = Flux / h.2.Pi.r1.L ce qui se transforme en : Flux = DeltaTcunu. h.2.Pi.r1.L (cunu
)
Allez ouste on mélange le tout
DeltaTcui = (DeltaTcunu.h.2.Pi.r1.L) . ((Ln (r2/r1)) / ( lambda.2.Pi.r1L) + (1 / h.2.Pi.r1.L))
On simplifie
DeltaTcui = (DeltaTcunu) . {[(h.r1.Ln (r2/r1)) / (lambda)] + [r1/r2]}
et hop un calcul de moins car au dernier épisode DeltaTcunu = 83,4°C
DeltaTcui = 83,4 . {[(17.0,00225.Ln (0,00325/0,00325)) / (0,2)] + [0,00225 /0,00325 ]}
r1 : rayon du conducteur : 2,25 mm soit 0,00225 mètre
r1 : rayon de l'isolant de 1mm d'épaisseur :3,25 mm soit 0,00325 mètre
Lambda du PVC : 0,2 W/m°C
h : coefficient d'échange avec l'air : 17 W/m2°C
DeltaTcui = 63,6°C
surprenant non l'isolant à fait baisser la température du cuivre.
l'échange entre l'isolant moulé autour du conducteur est bien meilleur qu'avec l'air qui n'est pas très bon conducteur de la chaleur. (lambda de l'air autour de 0,02 soit 10 fois moins bon que le PVC.)
Et l’épaisseur de l'isolant augmente la surface d'échange avec l'air.
Ok fini la prise de tête